Читать онлайн полностью бесплатно Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка
1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение
Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.
Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.
Рис. 1
Системы координат
Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.
Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.
Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным угломφ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.
Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:
Пусть имеются две точки М>1(х>1, у>1) и М>2(х>2, у>2). Расстояние между точками:
Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).
Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.
2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
1. Пусть даны три точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), А>3 (х>3, у>3), тогда условие нахождения их на одной прямой:
либо (х>2 – х>1) (у>3 – у>1) – (х>3 – x>1) (у>2 – у>1) = 0.
2. Пусть даны две точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:
(х>2 – х>1)(у – у>1) – (х – х>1)(у>2 – у>1) = 0 или (х – х>1) / (х>2 – х>1) = (у – у>1) / (у>2 – у>1).
3. Пусть имеются точка М (х>1, у>1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у>1 = а(х – х>1).
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х – х>1) + В(у – у>1) = 0.
Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:
у – у>1 = –(х – х>1) / а
или
а(у – у>1) = х>1 – х.
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х>1, у>1), описывается уравнением А (у – у>1) – В(х – х>1) = 0.
4. Пусть даны две точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:
1) точки А>1, А>2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах>1 + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) имеют одинаковые знаки;
2) точки А>1, А>2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах>1 + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) имеют разные знаки;
3) одна или обе точки А>1, А>2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах>1 + + Ву>1 + С) и (Ах>2 + Ву>2 + С) принимают нулевое значение.
5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х>1, у>1), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у>1 = к (х – х>1) (параметр пучкак для каждой прямой свой).
Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y – y>1) = m(x – x>1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.
Если две прямые пучка L>1 и L>2 соответственно имеют вид (А>1х + В>1у + С>1) = 0 и (А>2х + В>2у + С>2) = 0, то уравнение пучка: m>1(А>1х + В>1у + С>1) + m>2(А>2х + В>2у + С>2) = 0. Если прямые L>1 и L>2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.
6. Пусть даны точка М (х>1, у>1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояниеd от этой точкиМдо прямой:
3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат
Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояниер (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и
